৩ এর বাহাদুরি

দেখুনতো নিচের ধারাটিতে এককের অঙ্ক কত হয় যেখানে n একটা ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং n\geq 5

S_n=1!+2!+3!+\cdots\cdots\+n!

কি দেখলেন , হ্যাঁ n এর যে কোন মানের জন্য S_n এর এককের অঙ্ক ৩ হবে।

কেন এমন হয়

আমি বেশি ভনিতা না করে আসল বিষয়টা প্রমান করে দেখাই। আগে আমি প্রমান করবো যে কোন ধারার সবগুলো পদের সমষ্টিকে ১০ দ্বারা ভাগ করলে যা অবশিষ্ট থাকে  ঐ ধারার প্রতিটা পদকে ১০ দ্বারা ভাগ করে ভাগশেষগুলোর সমষ্টিকে ১০ দ্বারা ভাগ করলেও তাই অবশিষ্ট থাকে।

কেন ১০ দ্বারা ভাগ করছি সেটা নিশ্চয়ই সবাই জানে। (যে কোন সঙ্খাকে ১০ দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত অবশিষ্টই তার একক অঙ্ক। কারন আমাদের গননা পদ্ধতি ১০ ভিত্তিক।)

এটা প্রমান করতে Modular Arithmetic জানতে হবে (Mod না জেনেও করা যায় কিন্তু প্রসেসটা মনে হয় একটু বেশি দীর্ঘ) যারা Modular Arithmetic জানেননা তারা আপাতত এই link তা ঘুরে আসুন http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic

এবার শুরু করি ধরি, S=a_1+a_2+a_3+\cdots+\cdots +a_n

যদি a_1,a_2,a_3.......,a_n এগুলোকে ১০ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে x_1,x_2,x_3,......x_n  পাই তাহলে লিখতে পারি,

a_1\equiv x_1 (mod 10)

a_2\equiv x_2 (mod 10)

a_3 \equiv x_3 (mod 10)

.

.

.

a_n\equiv x_n (mod 10)  

তাহলে Modular Arithmetic এর নিয়ম অনুযায়ী আরও লিখতে পারি,

a_1+a_2+a_3+\cdots\cdots+a_n\equiv x_1+x_2+x_3+\cdots\cdots+x_n (mod 10)

\Rightarrow S\equiv x_1+x_2+x_3+\cdots\cdots+x_n (mod 10)

ব্যাস আমদের প্রমান শেষ। এবারতো S_n এর একক বের করা কোন  ঘটনাই না। n! এর সংজ্ঞা থেকে জানি ৫! থেকে শুরু করে n! পর্যন্ত সব গুলো সংখ্যার উৎপাদকে ১০ আছে। তাই এদেরকে ১০ দিয়ে ভাগ দিলেতো ০ অবশিষ্ট থাকবে। তাই S_n ধারার প্রথম ৪ টা পদের যোগফল নিয়ে ১০ দিয়ে ভাগ করলেই হয়। আর প্রথম ৪ টা পদের যোগফল হলো  মোটে ৩৩ কাজেই ধারার এককের অঙ্ক সর্বদাই ৩ হবে।

এখানেই কিন্তু শেষ না n  এর যে কোন মানের জন্য S_n এর অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। কেন হয় ? এটা নাহয় নাই বা বললাম। আপনারাই বের করেন।

Universal Hint: আমার লেখাতেই কিন্তু উত্তরটা বলে দিয়েছি ।

 

আর হ্যাঁ ভালো কথা  আমার লেখায় কোন ভরসা নাই। যে কোন ভুলতো থাকতেই পারে। কেউ কোন ভুল পেলে তাড়াতাড়ি জানান।

 

 

 

About S.M.Joty

আমি একজন সাধারন মানুষ । আমি আমার আইডিয়া গুলো সবার সাথে শেয়ার করতে চাই। আমার প্রিয় বিষয় math, physics ,Astrophysics ,chess etc.

4 comments

  1. কেউ কি প্রশ্নের উত্তরটা পেয়েছেন। পাইলে সবার সাথে শেয়ার করেন। আমরাও একটু বিষয়টা বুঝি …।

  2. কারন, ৩! থেকে সব n!  এর জন্য ৩ দারা বিভাজ্য হয়। আর ১! +২! ত ৩ দারা বিভাজ্য তাই S , ৩ দারা বিভাজ্য হবে। 

  1. Pingback: brl.thefreecat.org

Leave a Reply

Scroll To Top