Home / জীবনী / লীলাবতী—কাব্যসুষমায় গণিত উপাখ্যান

লীলাবতী—কাব্যসুষমায় গণিত উপাখ্যান

পিতার নিষেধ সত্ত্বেও কিশোরী মেয়েটি তাকিয়ে আছে পানিভরা পাত্রটির দিকে ; চোখে তার অপার কৌতূহল। পাত্রের ভেতর একটি কাপ, তার তলায় একটি সূক্ষ্ম ছিদ্রের মধ্য দিয়ে কাপে পানি ঢুকছে। নির্দিষ্ট সময় পর কাপটি ডুবে যাবে এবং কিশোরী মেয়েটির বিয়ের জন্য সেটি হবে শুভ লগ্ন, নয়তো মেয়েটি বিধবা থেকে যাবে আজীবন। শাস্ত্রজ্ঞ বাবা মেয়ের কোষ্ঠী বিচার করে ব্যাপারটি জানতে পেরেছেন; তাই লগ্নটিকে ধরে রাখার জন্য ব্যবস্থা করে রেখেছেন প্রাচীন এই সময়্গণকের। কিন্তু মেয়েটির নাক থেকে একটি মুক্তোর দানা হঠাৎ খসে পড়ে কাপের উপর, বন্ধ হয়ে যায় ছিদ্র, আর পেরিয়ে যায় লগ্ন। তারপরও মেয়েটির বিয়ে হয়, আর লগ্নভ্রষ্টা মেয়েটা সত্যি সত্যি বিধবাও হয়ে যায়।

মেয়ের কষ্ট বড় বাজে বাবার হৃদয়ে। আত্মজার কষ্ট দূর করতে তিনি তাকে সন্ধান দেন এক বিশুদ্ধ অনুভূতির, মহান এক সৌন্দর্যের, বঞ্চনা আর হতাশার ঊর্ধ্বে প্রজ্ঞাময় জগতের সুশৃঙ্খল নিয়মের—মেয়েকে শিক্ষা দেন গণিত। আর মেয়ের নাম অমর করে রাখার জন্য রচনা করেন এক মহাকাব্য, মেয়ের নামে যার নাম।

সময়টা ১১৫০ সাল। বিশ্ব ইতিহাসে এক থমথমে শান্ত অধ্যায়, শক্তিশালী ঝড়ের পূর্বে প্রকৃতির সমাহিত রূপের মতো। উনিশ বছর আগে জন্মভূমি পারস্যের (Iran) নিশাপুরে রেশম পথের পাশে চিরনিদ্রায় শায়িত হন ওমর খৈয়াম (Omar Khayyam)। মঙ্গোলিয়ার অনন নদীর অববাহিকায় দুর্ধর্ষ ঘেঙ্গিস খানের (Ghengis Khan) জন্ম আর মাত্র এক যুগ দূরে। ওদিকে ইউরোপে তখনও অন্ধকার—মুসলিম বিজ্ঞানী ও গণিতবিদদের আরবীয় পাণ্ডুলিপি লাতিন ভাষায় অনুবাদের মধ্য দিয়ে ইউরোপ অবলোকন করছে জ্ঞানের বিস্ময়কর এক জগত, সে সাথে আবার নতুন করে পরিচিত হচ্ছে ইউক্লিড এরিষ্টোটলের সাথে; দার্শনিক আদেলার্দ (Adelard of Bath) ও তাঁর ছাত্রদের শামদেশে (Syria) আহরিত প্রাচ্যের এই জ্ঞানপ্রবাহ পরে জন্ম দেবে ইউরোপীয় রেনেসাঁর। এবং আর তিন যুগ পরে পবিত্রভূমি জেরুজালেম আবারও প্রকম্পিত হবে ক্রুসেডারদের পদভারে, যদিও সিংহহৃদয় রাজা রিচার্ড (Richard the Lionheart), পরাক্রমশালী ফিলিপ, ধূর্ত লিউপল্ড এবং বয়স্য বারবারোসার সম্মিলিত প্রয়াস ব্যর্থ হবে সালাদীন (Ṣalaḥ ad-Din Yusuf ibn Ayyub) নামে এক বেদুঈন সুলতানের মহত্ত্ব আর বীরত্ত্বের কাছে।

ইতিহাসের সেই শান্ত ক্ষণে পিতার মমতায় অনন্য হয়ে উঠা কিশোরীর নাম লীলাবতী (Lilavati), এবং লীলাবতী নামের মহাকাব্যটির রচয়িতা মেয়েটির পিতা এই উপমহাদেশেরই প্রাচীন অবন্তী তথা উজ্জ্বয়নী মানমন্দিরের প্রধান আচার্য ভাস্কর (Bhaskara Acharya), যিনি বরাহমিহির (Varahmihira) ও ব্রহ্মগুপ্তের (Brahmagupta) গণিতের ধারাকে এগিয়ে নিয়ে যান বহুদূর এবং যাঁকে বলা হয় দ্বাদশ শতকের গণিত ও মহাকাশ বিজ্ঞানের শীর্ষবিন্দু। ক্যালকুলাস, মহাকাশ বিজ্ঞান, সংখ্যাতত্ত্ব এবং সমীকরণ সমাধানে তাঁর জ্ঞানের সমকক্ষতা অর্জন করতে পৃ্থিবীতে কেটে যাবে আরও কয়েকশ বছর। এবং পৃ্থিবীর মানুষ বিস্ময়ে জানবে উইলিয়াম ব্রাউংকার, পিয়েরে দ্য ফামা (Pierre de Fermat), লিউনার্দো অয়লার (Leonhard Paul Euler) ও রলি’র মত মহান গণিতজ্ঞদের অনেক অবদান আসলে একেবারে নতুন কিছু নয়, বহু পূর্বেই পৃ্থিবীকে তা দিয়ে গিয়েছেন আচার্য ভাস্কর।

লীলাবতী একটি কাব্যময় গণিতের বই—ভাস্করাচার্যের “সিদ্ধান্ত শিরোমনি” গ্রন্থচতুষ্টয়ের প্রথম গ্রন্থ। তেরটি অধ্যায়ে রচিত পাটিগণিতের এই বইটিতে আলোচনা করা হয় আটটি গাণিতিক প্রক্রিয়া (পরিকর্মষ্টক): যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, বর্গ, ঘন, বর্গমূল এবং ঘনমূল। তারপর আসে
• শূন্যপরিকর্মণ: শূন্যের ব্যবহার
• ব্যস্তবিধি: ব্যস্ততার নিয়ম
• ইষ্টকর্ম: ঐকিকনিয়ম
• সংক্রমণ: (ক+খ) এবং (ক-খ) থেকে অপনয়ন পদ্ধতিতে ক ও খ-এর মান নির্ণয়
• বর্গসংক্রমণ: (ক+খ) এবং (ক^২-খ^২) থেকে অপনয়ন পদ্ধতিতে ক ও খ-এর মান নির্ণয়
• বর্গকর্ম: ক ও খ-এর এরূপ মান নির্ণয় যাতে (ক^২+খ^২-১) এবং (ক^২-খ^২-১) পূর্ণবর্গ হয়
• মূলগুণক: বর্গমূল ও দ্বিঘাত সমীকরণ সংক্রান্ত সমস্যা
• ত্রৈরাশিকা: তিন-এর নিয়ম
• বন্দপ্রতিবন্দক: বিনিময় ব্যবস্থা
• মিশ্রব্যবহার: মিশ্রণের নিয়ম
• শ্রেণীব্যবহার: ধারার ব্যবহার
• অঙ্কপাশা বিন্যাস ও সমাবেশ
• কুত্তক: অনির্ণেয় সমীকরণের সমাধান
• ক্ষেত্রগণিত: জ্যামিতি

বইটির অধিকাংশ সমস্যা ছন্দোময় কবিতার শ্লোকের মত হৃদয়গ্রাহী প্রাঞ্জল করে বর্ণনা করা হয়েছে, সাজানো হয়েছে রাজা, হাতি, পদ্মফুলের মত পরিচিত জিনিস দিয়ে যাতে শিক্ষার্থীদের বুঝতে সুবিধা হয়। আর সেগুলো উপস্থাপন করা হয়েছে লীলাবতীকে সম্বোধন করার মধ্য দিয়ে। যেমন:
মৃগনয়না লীলাবতী
বল দেখি পার যদি
১৩৫ গুণন ১২ কত হয়
যদি তোমার জানা রয়
গুণন প্রক্রিয়া-পৃথক অংশে আর পৃথক অংকে?

LilavatiBook
সুবিন্যাস, উন্নততর পদ্ধতি এবং নতুন বিষয়বস্তু লীলাবতীকে করেছে চিরায়্ত—যুগ যুগ ধরে লীলাবতীর সৌন্দর্যে বিষ্ময়াবিষ্ট আনন্দে আপ্লুত হয়েছে গণিতানুরাগীদের হৃদয়। গত নয়শো বছরে পৃথিবীতে পরিবর্তন হয়েছে বহু: একদা পৃথিবীর সর্ববৃহ‍‌ৎ অখন্ড সাম্রাজ্য মঙ্গোল বিভক্ত হয়েছে শতধা, কলম্বাসের দেখানো পথ ধরে আসা সোনাখেকোদের হাতে বিলুপ্ত হয়েছে তিন হাজার বছরের আ্যজটেক সভ্যতা (Aztec Civilization), আটলান্টিকের এক তীর থেকে দলে দলে দাসদের তাড়িয়ে নেওয়া হয়েছে পৃ্থিবীজুড়ে, পত্রঝরার চন্দ্রকলায় নিজভূমে হারিয়ে গেছে কত আদি অধিবাসী, এবং মাত্র চৌষট্টি বছর পূর্বে লিটল বয় নামের আণবিক বোমার আঘাতে হিরোশিমা নামের একটি শহরে মারা যায় ১৪০০০০ মানুষ।

কিন্তু ভালোবাসাহীন এইসব কাহিনী সভ্যতার শাশ্বত গল্প নয়, শাশ্বত হচ্ছে সেই সব গত নয়শো বছর ধরে লীলাবতী নামের গ্রন্থটি যা দিয়েছে: পরিশুদ্ধ সৌন্দর্য; উন্মোচিত হয়েছে তাদের সামনে সৃষ্টিজগতের মমতাময় নিয়মের মধ্যে কাব্যময়তা খুঁজে পাবার ক্ষমতা রাখে যাদের হৃদয়, যাতে নেই কোন হতাশা, কোন গ্লানি—ঠিক যেমনটি বলে যবনিকা টেনেছেন মহর্ষি ভাস্কর লীলাবতী উপাখ্যানের:
আনন্দ এবং সুখে প্রকৃতই উদ্ভাসিত হচ্ছে জগত, তাদের জন্য যাদের গলা জড়িয়ে আছে লীলাবতী–ভগ্নাংশ, গুণন এবং সূচকের সুশৃঙ্খল সরলীকরণে সুসজ্জিত, সমাধানের মত বিশুদ্ধ ও সঠিক, আর বচনামৃতের মতই মনোহর।

আগ্রহীদের জন্য লীলাবতীর ইংরেজি অনুবাদ থেকে দুটি সমস্যা বাংলায় কবিতাকারে অনুবাদ করে দিলাম:
__________________________________
সমস্যা এক:

সারস আর হংসপূর্ণ সরোবরে
জলতলের অর্ধহস্ত উপরে
পদ্মকলি এক ঋজু সুঠাম দাঁড়িয়ে।

অপরাহ্নের সমীরণ
দেহে জাগায় কম্পন
আদি অবস্থানের দুই হস্ত দূরে
পরশে পদ্মকলি জলকে যায় নাড়িয়ে।

শুনলে এই বর্ণনা
করো এবার গণনা
জলের গভীরতা আর পদ্মের উচ্চতা।

সমস্যা দুই:তিক্ত, অম্লীয়, ঝাঁঝালো, মিষ্টি, টক আর লোনা
ছয়টি স্বাদ তুমি ভিন্ন ভিন্ন পাত্রে দেবে ভরে
একটি একটি করে এবং মিশিয়ে মিশিয়ে-
কয়টি পাত্র লাগবে তোমার এই কাজটির তরে?

About ম্যাভেরিক

22 comments

  1. লীলাবতী উপাখ্যানের শেষ কথাটা যেমন, লিখাটা ও ঠিক সেরকম অসাধারন!

  2. ১ম সমস্যাটা ভাল বুঝি নাই,এখনো চিন্তা করছি। ২য় টা এভাবে করা যায় মনে হয়, আমরা ৬ টি স্বাদকে একটি সেট A ধরলে A এর সদস্য সংখ্যা ৬। তাহলে, P(A) বের করলেই বুঝতে পারব কতগুলো পাত্র লাগবে, আমরাতো জানিই, P(A) এর সদস্য সংখ্যা হবে 2^n. এই ক্ষেত্রে 2^6. কিন্তু একটা সমস্যা আছে, P(A) এর একটা সদস্য হবে ফাঁকা সেট, সেটাতো আর পাত্রের সংখ্যা হতে পারে না। তাই মোট পাত্র লাগবে- 2^6-1=64-1=63.
    উত্তরটা হয়েছে নাকি??
    ম্যাভেরিক ভাই এর কাছে প্রশ্ন, আমি জানতাম শূণ্যের ব্যবহার ভারতীয় উপমহাদেশেই প্রথম শুরু হয়, তাহলে লীলাবতি কি পৃথিবীর প্রথম বই যেটাতে শূন্যের ব্যবহার আলোচনা করা হয়েছে?
    ২য় সমস্যাটা করতে গিয়ে আরেকটা প্রশ্ন মাথায় আসল, ভাস্করাচার্য কি সেট থিওরি সম্পর্কে জানতেন?
    ধন্যাবদ সুন্দর আরেকটা লেখা দেয়ার জন্য

    • ১মটিতে পদ্মের কলিটি বাতাসের কারণে ২ হাত দূরে গিয়ে পানিকে স্পর্শ করে, তার মানে পদ্ম গাছটি ব্যাসার্ধ হয়ে একটি বৃত্তচাপ উৎপন্ন করছে। কিছু সূত্র প্রয়োগ করলেই হবে।

      ২ নং ঠিক আছে। :)

      “শূন্যের ব্যবহার ভারতীয় উপমহাদেশেই প্রথম শুরু হয়” এ সঠিক নয়। পৃথিবীতে নানা ধরণের শূন্য আছে।

      (১) দার্শনিক শূন্য (Philosophical Zero): সবই মায়া, সবই শূন্য। সব জাতিতেই এ শূন্যের ধারণা পাওয়া যায়।

      (২) ফাঁকা স্থানের প্রতীক শূন্য (Placeholder Zero): ১৭, ১০৭ এবং ১০০৭ তিনটি ভিন্ন সংখ্যা, মাঝের ০-এর কারণে। মাঝে ০ না লিখে, ১৭, ১ ৭, ১ ৭ এভাবে লিখলে নানা সমস্যার সৃষ্টি হতো। এ শূন্যটির আবিষ্কারক ব্যাবিলনীয়রা, ভারতীয়দের অনেক আগে।

      (৩) সংখ্যা শূন্য (Number Zero): ০ + ৭ = ৭, এ যোগটি সম্ভব কারণ ০ ও ৭ দু’টি সংখ্যা। এ শূন্যের কারণে x^2 – 10 = 0, এ ধরণের সমীকরণ সমাধান সম্ভব। এ শূন্যটি সর্বপ্রথম কে ধরতে পেরেছিলেন, তা নিশ্চিত জানা যায় না, তবে নবম শতকের ভারতীয় কিছু গণিতবিদ ও পারস্যের গণিতবিদ আবু মুসা আল-খোয়ারিজমির নাম এক্ষেত্রে অগ্রগণ্য। এ ব্যাপারে আমার একটি লেখা আছে, পোস্ট করব।

      লীলাবতী রচনার সময় শূন্যের ব্যবহার বেশ এগিয়ে গেছে। ২য়টিতে ভাস্করাচার্য সম্ভবত অঙ্কপাশা, মানে বিন্যাস-সমাবেশ, দ্বারা সমাধান করেছিলেন, অনেকটা 6C1+6C2+….+6C6 এর মতো।

      • সাহায্যের জন্য ধন্যবাদ, ১ নং এর উত্তর এভাবে দেয়া যায় মনে হয়-

        মনে করি, BC পানির তল, AB পদ্ম এর দৈর্ঘ্য= r তাহলে পানির গভীরতা হবে AC. প্রশ্ন অনুযায়ী- BC=২, AC= r – ১/২। এখন ABC সমকোনী ত্রিভুজে পীথাগোরাসের সুত্রানুযায়ী-
        (r-(1/2))^2+2^2= r^2
        => r^2 – 2 r 1/2 + 1/4 + 4 = r^2
        => r = 1/4+4
        => r = 17/4
        তাহলে পন্ম এর দৈর্ঘ্য পাওয়া গেলো 17/4
        পানির গভীরতা হবে (17/4)-(1/2)
        => 15/4
        উত্তর কি হয়েছে ? নাকি ভাস্করাচার্য “আদি অবস্থানের দুই হস্ত দূরে” বলতে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য বুঝিয়েছেন?

      • ম্যাভেরিক, ‘শূণ্যের ব্যবহার’ বলতে আপনি কি বুঝিয়েছেন সেটি কিছুটা অস্পষ্ট ঠেকেছে। তবে একটি পূর্ণাঙ্গ দশমিক সংখ্যা হিসেবে শূণ্যের ব্যবহার প্রথম ভারতীয় উপমহাদেশেই হয়। পূর্ণাঙ্গ দশমিক সংখ্যা পদ্ধতির প্রবক্তা হচ্ছে আর্যভট্ট, আর শূণ্যকে সংখ্যা হিসেবে ব্যবহার করার মূল কৃতিত্ব ব্রহ্মগুপ্তের

        • দর্শন বাদ দিলে, শূন্য দু’রকমের: (১) খালি স্থানের প্রতীক (২) স্বতন্ত্র সংখ্যা।

          প্রথম ধরণের শূন্য আবিষ্কার করে ব্যাবিলনীয়রা। যেমন, প্রথম দিকে তারা ১১ ব্যাবিলনীয় মুদ্রা লিখতে এভাবে: ১১ [দু’টি ১ খুব কাছাকাছি থাকত]; আর ১০১ ব্যাবিলনীয় মুদ্রা লিখত এভাবে: ১ ১ (দু’টি ১ এর মধ্যে ফাঁকা স্থান থাকত)। কিন্তু এতে নানা সমস্যা দেখা দিত, কেউ পড়ত ১০১, কেউ বা ১০০১। তখন তারা মাঝে ফাঁকার পরিবর্তে আঙটার মতো চিহ্ন বসাতে শুরু করল। [তারা অবশ্য এক বোঝাতে Y-এর মতো দেখতে, এবং দশ বোঝাতে <-এর মতো দেখতে চিহ্ন বসাত; এবং আঙটার (^) মতো শূন্য-এ তিনটে নিয়েই তাদের সব সংখ্যার প্রকাশ।]

          ভারতে
          শূন্যকে স্বতন্ত্র সংখ্যা হিসেবে ব্যবহার করার সবচেয়ে প্রাচীন অকাট্য প্রত্নতাত্ত্বিক প্রমাণটি নবম শতকের। এ থেকে ধারণা করা যায়, শূন্যের এ বিকাশটি ভারতে আগে থেকেই থাকা স্বাভাবিক, কিন্তু প্রত্নতাত্ত্বিকভাবে সে নিদর্শন আবিষ্কৃত হয়নি। ব্রহ্মগুপ্তের শূন্যটি হচ্ছে স্বজ্ঞামূলক শূন্য (intuitive zero), যার মানে "কিছুই না" (nothing); উক্ত শূন্য এবং আমাদের বর্তমান শূন্য, যার মানে কোনোকিছু (something), পুরোপুরি এক রকমের শূন্য নয়।

      • “ব্রহ্মগুপ্তের শূন্যটি হচ্ছে স্বজ্ঞামূলক শূন্য (intuitive zero), যার মানে “কিছুই না” (nothing); উক্ত শূন্য এবং আমাদের বর্তমান শূন্য, যার মানে কোনোকিছু (something), পুরোপুরি এক রকমের শূন্য নয়।”
        দ্বিমত প্রকাশ করছি-

        আজকের গণিতে শূন্য যে মর্যাদায় অধিষ্ঠিত সেটা ব্রহ্মগুপ্তেরই অবদান। দশমিক সংখ্যা ব্যবস্থায় শুধু শূন্যকে অন্তর্ভূক্ত করার মাধ্যমেই ব্রহ্মগুপ্ত ক্ষান্ত দেননি। দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগের মত মৌলিক অপারেশনগুলোকে বর্ণনা করেছেন ব্রহ্মগুপ্ত। এর চেয়েও বড় হল- ব্রহ্মগুপ্তের কাজে শূন্যের গাণিতিক অপারেশনগুলো খুব স্পষ্ট করে বর্ণনা করা রয়েছে। ব্রহ্মগুপ্তের কাজে আমরা শূন্যের যে ব্যবহার পাই গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে সেটি পূর্ণাঙ্গ।
        নিচের লিঙ্কগুলো দ্রষ্টব্য-
        http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta#Zero

        http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Brahmagupta.html

        http://en.wikipedia.org/wiki/0_%28number%29#History

        http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Zero.html

        আপনি নবম শতাব্দীর যে প্রত্নতাত্ত্বিক প্রমাণের কথা বললেন সেটিও সম্ভবত ভ্রান্ত। নবম শতাব্দীর মাঝে ভারতীয় উপমহাদেশে শূন্যের ধারণাটি সুপ্রতিষ্ঠিত হয়ে যায়। শূন্যের রেফারেন্স পাওয়া যায় আরও অনেক আগ থেকেই। বাখশালী পাণ্ডুলিপিতেও শূন্যের ধারণাগত অস্তিত্ব আছে। আর্যভট্টের কাজেও শূন্যের ধারণা রয়েছে। পূর্ণাঙ্গ দশমিক সংখ্যা পদ্ধতির প্রবক্তা হিসেবে আর্যভট্ট তাঁর কাজে ‘খ’ নামের একটি ধারণা ব্যবহার করেছিলেন, যেটি শূন্যের সমার্থক।

        • “দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগের মত মৌলিক অপারেশনগুলোকে বর্ণনা করেছেন ব্রহ্মগুপ্ত।”
          আপনি বলুন তো, এ কাজটি ব্রহ্মগুপ্ত কি +, -, = গাণিতিক এ ধরণের চিহ্ন ব্যবহার করে নিছক abstract সংখ্যায় করেছেন, নাকি সম্পূর্ণ “ভাষার মাধ্যমে” ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে করেছেন, যেমন: আমার আয় হলো পাঁচ টাকা, কিন্তু খরচ হয়ে গেল সাত টাকা, সুতরাং আমার এখন ঋণ হয়ে গেল দুই টাকা? এভাবে ধরলে ব্রহ্মগুপ্ত “ঋণাত্মক সংখ্যাও” “সংখ্যা শূন্য”র কথা বলে গেছেন, তবে সেক্ষেত্রে তিনিই প্রথম ব্যক্তি নন। অতীতকে সূক্ষ্মভাবে ফুটিয়ে তোলা খুব কঠিন,বিশেষ করে, ভাষাকে যখন গণিত ও গাণিতিক প্রতীকে প্রকাশ করার চেষ্টা করা হয়, এবং এর ফলে অতীতে যা ছিল না, তা-ও অনেক সময় বলা হয়ে পড়ে; ঐতিহাসিক ঘটনার চলচ্চিত্রায়ণে যা হয় আর কি। মহান ব্রহ্মগুপ্ত্য যা বলে যাননি, তা জোর করে বলার কোনো মানে হয় না। তিনি কাজ করেছেন আয়-ব্যয়, লাভ-ক্ষতি, fortune-debt, এরূপ বাস্তবজীবনের প্রায়োগিক দিক নিয়ে, আমাদের বর্তমান ০, -৭ এর মতো নিছক abstract সংখ্যা নিয়ে নয়। নিচের লিঙ্কটি দেখুন:
          http://en.wikipedia.org/wiki/Negative_and_non-negative_numbers
          এখানে ব্রহ্মগুপ্তের ব্যাপারে বলা আছে, “He also found negative solutions of quadratic equations and gave rules regarding operations involving negative numbers and zero, such as “A debt cut off from “nothingness” becomes a credit; a credit cut off from nothingness becomes a debt. ” He called positive numbers “fortunes,” zero “a cipher,” and negative numbers “debts.” [10][11]

          এখানে দেখা যায়, ব্রহ্মগুপ্তের শূন্য হচ্ছে “nothingness”, ধনাত্মক-ঋণাত্মক সংখ্যা হচ্ছে আয়-ব্যয়; এগুলো “সংখ্যাযুক্ত” কোনোকিছু, কিন্তু নিজস্ব মর্যাদায় স্বকীয় সংখ্যা নয়। অবশ্যই ব্রহ্মগুপ্তের ধনাত্মক-ঋণাত্মকগুলোকে বর্তমানের পূর্বসূরী বলতে আমার আপত্তি নেই, কিন্তু সেগুলো পুরোপুরি বর্তমানের মতো সংখ্য্যা, এ কথা বলতে আমার আপত্তি আছে।

          এবং আপনি বলতে চাচ্ছেন “নবম শতাব্দীর যে প্রত্নতাত্ত্বিক প্রমাণের কথা…সেটিও ‘সম্ভবত’ ভ্রান্ত।” না, সেটি ভুল নয়; এ বিষয়ে একটি লিঙ্ক (লাস্ট প্যারাটি ভালো করে পড়বেন):
          http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-india-zero

      • “দশমিক সংখ্যা পদ্ধতিতে যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগের মত মৌলিক অপারেশনগুলোকে বর্ণনা করেছেন ব্রহ্মগুপ্ত।”আপনি বলুন তো, এ কাজটি ব্রহ্মগুপ্ত কি +, -, = গাণিতিক এ ধরণের চিহ্ন ব্যবহার করে নিছক abstract সংখ্যায় করেছেন, নাকি সম্পূর্ণ “ভাষার মাধ্যমে” ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে করেছেন, যেমন: আমার আয় হলো পাঁচ টাকা, কিন্তু খরচ হয়ে গেল সাত টাকা, সুতরাং আমার এখন ঋণ হয়ে গেল দুই টাকা? এভাবে ধরলে ব্রহ্মগুপ্ত “ঋণাত্মক সংখ্যাও” “সংখ্যা শূন্য”র কথা বলে গেছেন, তবে সেক্ষেত্রে তিনিই প্রথম ব্যক্তি নন। অতীতকে সূক্ষ্মভাবে ফুটিয়ে তোলা খুব কঠিন,বিশেষ করে, ভাষাকে যখন গণিত ও গাণিতিক প্রতীকে প্রকাশ করার চেষ্টা করা হয়, এবং এর ফলে অতীতে যা ছিল না, তা-ও অনেক সময় বলা হয়ে পড়ে; ঐতিহাসিক ঘটনার চলচ্চিত্রায়ণে যা হয় আর কি। মহান ব্রহ্মগুপ্ত্য যা বলে যাননি, তা জোর করে বলার কোনো মানে হয় না। তিনি কাজ করেছেন আয়-ব্যয়, লাভ-ক্ষতি, fortune-debt, এরূপ বাস্তবজীবনের প্রায়োগিক দিক নিয়ে, আমাদের বর্তমান ০, -৭ এর মতো নিছক abstract সংখ্যা নিয়ে নয়। নিচের লিঙ্কটি দেখুন: http://en.wikipedia.org/wiki/Negative_and_non-negative_numbers এখানে ব্রহ্মগুপ্তের ব্যাপারে বলা আছে, “He also found negative solutions of quadratic equations and gave rules regarding operations involving negative numbers and zero, such as “A debt cut off from “nothingness” becomes a credit; a credit cut off from nothingness becomes a debt. ” He called positive numbers “fortunes,” zero “a cipher,” and negative numbers “debts.” [10][11]
        এখানে দেখা যায়, ব্রহ্মগুপ্তের শূন্য হচ্ছে “nothingness”, ধনাত্মক-ঋণাত্মক সংখ্যা হচ্ছে আয়-ব্যয়; এগুলো “সংখ্যাযুক্ত” কোনোকিছু, কিন্তু নিজস্ব মর্যাদায় স্বকীয় সংখ্যা নয়। অবশ্যই ব্রহ্মগুপ্তের ধনাত্মক-ঋণাত্মকগুলোকে বর্তমানের পূর্বসূরী বলতে আমার আপত্তি নেই, কিন্তু সেগুলো পুরোপুরি বর্তমানের মতো সংখ্য্যা, এ কথা বলতে আমার আপত্তি আছে। 
        এবং আপনি বলতে চাচ্ছেন “নবম শতাব্দীর যে প্রত্নতাত্ত্বিক প্রমাণের কথা…সেটিও ‘সম্ভবত’ ভ্রান্ত।” না, সেটি ভুল নয়; এ বিষয়ে একটি লিঙ্ক (লাস্ট প্যারাটি ভালো করে পড়বেন): http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-india-zero

        • আপনার আগের মন্তব্য থেকে আমি আপনার অবস্থানটি বুঝতে পারিনি। আপনি সম্ভবত rigorous mathematical abstraction এর কথা বলেছেন। এই ধারণাটি মূলত Platonism এর সাথে যায়…তবে complete abstraction এর ব্যাপারটি অনেক পরে এসেছে। philosophy টা অনেক পুরোনো হলেও method টা বেশ নতুন।

          আমি ব্রহ্মগুপ্তের কাজের রেফারেন্সে এটাই বলার চেষ্টা করেছি- একটি পূর্ণাঙ্গ দশমিক সংখ্যা ব্যবস্থার অংশ হিসেবে শূন্যের ব্যবহারকে সুসংজ্ঞায়িত করার কৃতিত্বটি ব্রহ্মগুপ্তেরই প্রাপ্য। হয়তো ভাষিক দ্ব্যর্থকতায় সেটি বুঝতে আপনি ভুল করেছেন। আমি ব্রহ্মগুপ্তের philosophy নিয়ে নয়, method নিয়ে কথা বলেছি। ভারতীয় গণিতবিদদের কাজের একটি বড় বৈশিষ্ট্য হল সেটি প্রায়োগিকতাকেন্দ্রিক। abstraction এর ব্যাপারটা ভারতে আগেও ছিল না, পরেও আসেনি [অন্তত মাধব পর্যন্ত ইতিহাস সেটিরই সাক্ষ্য দেয়],

          ব্রহ্মগুপ্ত শূন্য এবং ঋণাত্মক সংখ্যার যে ধারণা দিয়েছেন সেটি সংখ্যা পদ্ধতির অংশ হিসেবে সম্পূর্ণতার দাবিদার। তিনি abstraction এর পথে না হাঁটলেও পূর্ণ সংখ্যার সেটের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলোকে ব্যাখ্যা ঠিকই করে গেছেন। আর +,- জাতীয় চিহ্নের জন্ম তো হয়েছে অনেক পরে। তবে আপনি The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook বইটির Mathematics in India অংশে ব্রহ্মগুপ্তের কাজের একটি অনুবাদ পাবেন। আমার আগের মন্তব্যের প্রথম লিঙ্কটিতে সেট থেকেই কিছু স্তোত্র তুলে ধরা হয়েছে, সেখানে কিন্তু ব্রহ্মগুপ্ত কোন numeric example এর সাহায্য নেওয়া ছাড়াই পূর্ণ সংখ্যার সাধারণ নিয়ম ব্যাখ্যা করেছেন। মৌলিক অপারেশনগুলোর ব্যাপারেও এই কথাটি সত্যি। তবে আজকে আমরা সেটি করি প্রতীক ও চিহ্নের মাধ্যমে, ব্রহ্মগুপ্ত করেছিলেন ভাষার মাধ্যমে।

          “নবম শতাব্দীর যে প্রত্নতাত্ত্বিক প্রমাণের কথা…সেটিও ‘সম্ভবত’ ভ্রান্ত।”- এই বাক্যটি আসলে আমি যা বোঝাতে চাচ্ছিলাম সেটি প্রকাশ করছে না। আমি বলতে চেয়েছি, “ভারতে শূন্যকে স্বতন্ত্র সংখ্যা হিসেবে ব্যবহার করার সবচেয়ে প্রাচীন অকাট্য প্রত্নতাত্ত্বিক প্রমাণটি নবম শতকের।” এই বাজ্যটিতে বিভ্রান্তি আছে। “সবচেয়ে প্রাচীন” শব্দটিই আসলে আমার আপত্তির জায়গা। শূন্যকে সংখ্যা হিসেবে ব্যবহার করার প্রাচীনতম (দ্ব্যর্থকতামুক্ত) প্রমাণ অবশ্যই ব্রহ্মগুপ্তের “ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত”। তবে আর্যভট্ট এবং ব্রহ্মগুপ্ত সংখ্যা প্রকাশের জন্য প্রতীকের সাহায্য না নিয়ে সেটিকে ভাষার মাধ্যমে প্রকাশ করতেন। আপনি যদি “প্রতীক” শূন্যের প্রথম “অকাট্য” প্রমাণ হিসেবে শিলালিপিটির রেফারেন্স দিয়ে থাকেন তাহলে আপনি সঠিক। তবে “সংখ্যা” শূন্যের ব্যাপারে নয়।

          notational system এর বাইরে থেকেও আর্যভট্ট (ব্রহ্মগুপ্তও একই ধরনের পদ্ধতি ব্যবহার করতেন) কীভাবে দশমিক সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করতেন সেটি জানার জন্য আপনাকে http://ia311011.us.archive.org/0/items/The_Aryabhatiya_of_Aryabhata_Clark_1930/The_Aryabhatiya_of_Aryabhata_Clark_1930.pdf এর পৃষ্ঠা ২ থেকে পৃষ্ঠা ১০ পর্যন্ত পড়ে নিতে অনুরোধ করছি।

          আপনার দেওয়া লিঙ্কটি পড়েছি। ভাল লেগেছে। আর আপনার লেখার স্টাইলও বেশ চমৎকার। ধন্যবাদ

      • আপনার আগের মন্তব্য থেকে আমি আপনার অবস্থানটি বুঝতে পারিনি। আপনি সম্ভবত rigorous mathematical abstraction এর কথা বলেছেন। এই ধারণাটি মূলত Platonism এর সাথে যায়…তবে complete abstraction এর ব্যাপারটি অনেক পরে এসেছে। philosophy টা অনেক পুরোনো হলেও method টা বেশ নতুন।
        আমি ব্রহ্মগুপ্তের কাজের রেফারেন্সে এটাই বলার চেষ্টা করেছি- একটি পূর্ণাঙ্গ দশমিক সংখ্যা ব্যবস্থার অংশ হিসেবে শূন্যের ব্যবহারকে সুসংজ্ঞায়িত করার কৃতিত্বটি ব্রহ্মগুপ্তেরই প্রাপ্য। হয়তো ভাষিক দ্ব্যর্থকতায় সেটি বুঝতে আপনি ভুল করেছেন। আমি ব্রহ্মগুপ্তের philosophy নিয়ে নয়, method নিয়ে কথা বলেছি। ভারতীয় গণিতবিদদের কাজের একটি বড় বৈশিষ্ট্য হল সেটি প্রায়োগিকতাকেন্দ্রিক। abstraction এর ব্যাপারটা ভারতে আগেও ছিল না, পরেও আসেনি [অন্তত মাধব পর্যন্ত ইতিহাস সেটিরই সাক্ষ্য দেয়],
        ব্রহ্মগুপ্ত শূন্য এবং ঋণাত্মক সংখ্যার যে ধারণা দিয়েছেন সেটি সংখ্যা পদ্ধতির অংশ হিসেবে সম্পূর্ণতার দাবিদার। তিনি abstraction এর পথে না হাঁটলেও পূর্ণ সংখ্যার সেটের মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলোকে ব্যাখ্যা ঠিকই করে গেছেন। আর +,- জাতীয় চিহ্নের জন্ম তো হয়েছে অনেক পরে। তবে আপনি The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook বইটির Mathematics in India অংশে ব্রহ্মগুপ্তের কাজের একটি অনুবাদ পাবেন। আমার আগের মন্তব্যের প্রথম লিঙ্কটিতে সেট থেকেই কিছু স্তোত্র তুলে ধরা হয়েছে, সেখানে কিন্তু ব্রহ্মগুপ্ত কোন numeric example এর সাহায্য নেওয়া ছাড়াই পূর্ণ সংখ্যার সাধারণ নিয়ম ব্যাখ্যা করেছেন। মৌলিক অপারেশনগুলোর ব্যাপারেও এই কথাটি সত্যি। তবে আজকে আমরা সেটি করি প্রতীক ও চিহ্নের মাধ্যমে, ব্রহ্মগুপ্ত করেছিলেন ভাষার মাধ্যমে।
        “নবম শতাব্দীর যে প্রত্নতাত্ত্বিক প্রমাণের কথা…সেটিও ‘সম্ভবত’ ভ্রান্ত।”- এই বাক্যটি আসলে আমি যা বোঝাতে চাচ্ছিলাম সেটি প্রকাশ করছে না। আমি বলতে চেয়েছি, “ভারতে শূন্যকে স্বতন্ত্র সংখ্যা হিসেবে ব্যবহার করার সবচেয়ে প্রাচীন অকাট্য প্রত্নতাত্ত্বিক প্রমাণটি নবম শতকের।” এই বাজ্যটিতে বিভ্রান্তি আছে। “সবচেয়ে প্রাচীন” শব্দটিই আসলে আমার আপত্তির জায়গা। শূন্যকে সংখ্যা হিসেবে ব্যবহার করার প্রাচীনতম (দ্ব্যর্থকতামুক্ত) প্রমাণ অবশ্যই ব্রহ্মগুপ্তের “ব্রহ্মস্ফুটসিদ্ধান্ত”। তবে আর্যভট্ট এবং ব্রহ্মগুপ্ত সংখ্যা প্রকাশের জন্য প্রতীকের সাহায্য না নিয়ে সেটিকে ভাষার মাধ্যমে প্রকাশ করতেন। আপনি যদি “প্রতীক” শূন্যের প্রথম “অকাট্য” প্রমাণ হিসেবে শিলালিপিটির রেফারেন্স দিয়ে থাকেন তাহলে আপনি সঠিক। তবে “সংখ্যা” শূন্যের ব্যাপারে নয়।
        notational system এর বাইরে থেকেও আর্যভট্ট (ব্রহ্মগুপ্তও একই ধরনের পদ্ধতি ব্যবহার করতেন) কীভাবে দশমিক সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করতেন সেটি জানার জন্য আপনাকে http://ia311011.us.archive.org/0/items/The_Aryabhatiya_of_Aryabhata_Clark_1930/The_Aryabhatiya_of_Aryabhata_Clark_1930.pdf এর পৃষ্ঠা ২ থেকে পৃষ্ঠা ১০ পর্যন্ত পড়ে নিতে অনুরোধ করছি।
        আপনার দেওয়া লিঙ্কটি পড়েছি। ভাল লেগেছে। আর আপনার লেখার স্টাইলও বেশ চমৎকার। ধন্যবাদ

      • না, শুধু rigorous mathematical abstraction-এর কারণেই নয়, ব্রহ্মগুপ্তের শূন্যটিকে “পূর্ণাঙ্গ” শূন্য বলতে আমার আপত্তির আরো কারণ আছে। আলোচনার জন্য আমাদের শূন্যগুলোকে তাহলে আরেকবার দেখা যাক।

        (ক) দার্শনিক শূন্য, এর প্রবক্তা নিশ্চয়ই পৃথিবীর আদিমানবগণ, যারা জীবনের উদ্দেশ্য, তাৎপর্য নিয়ে ভেবেছেন। আমাদের বর্তমান আলোচনায় এটি মুখ্য নয়।

        (খ) সংখ্যার মধ্যে খালি স্থানের “প্রতীক” শূন্য—এটি উদ্ভাবন করে ব্যাবিলনীয়রা।

        (গ) সংখ্যা শূন্য, এটিই আমাদের আলোচনার মূল।
        ব্রহ্মগুপ্তের শূন্যটি হচ্ছে এরকম:
        আমি আয় করলাম দশ টাকা, ব্যয়ও করে ফেললাম দশ টাকা, সুতরাং আমার কাছে রইল (দশ বাদ দশ) বা “কিছুই না (nothing)—শূন্য। এটি নিঃসন্দেহে নতুন কোনো ধারণা নয়। এটি স্বজ্ঞামূলক (intuitive) শূন্য, পুরোপুরি সংখ্যা (number) শূন্য বলা যাবে না। কেন একথা বললাম? তাহলে ব্রহ্মগুপ্তের আরো কিছু কাজ/সূত্র দেখা যাক: (ক) তিনি বলেছেন, শূন্যকে শূন্য দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল শূন্য হয়।—এর মানে শূন্যকে পরিপূর্ণভাবে তিনি বুঝতে পারেননি। তিনি এভাবে ভেবে থাকতে পারেন, শূন্যকে একশ দিয়ে ভাগ করলে শূন্য, শূন্যকে দশ দিয়ে ভাগ করলে শূন্য, এক দিয়ে ভাগ করলে শূন্য! সুতরাং শূন্যকে শূন্য দিয়ে ভাগ করলেও শূন্য, অর্থাৎ যা “কিছুই না” তাকে যা দিয়েই ভাগ করা হোক ফলাফল সেই “কিছুই না”। (খ) এছাড়া a/0 ধরনের ভাগফলের মান, যেখানে a শূন্য নয়, ব্রহ্মগুপ্ত স্পষ্ট করে বলেননি যদিও তাঁর কাজে এর উল্লেখ আছে। ব্রহ্মগুপ্ত যদি শূন্যকে পরিপূর্ণ সংখ্যা হিসেবে বুঝতেন [যা ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র], তাহলে তিনি এভাবে চিন্তা করার কথা: দশকে দশ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল এক, এক দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল দশ, দশ ভাগের এক ভাগ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল একশ, … এভাবে হর ছোট করতে থাকলে ভাগফল বাড়তেই থাকবে। সুতরাং শূন্য ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যাকে এভাবে শূন্য দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল অনেক অনেক বড় সংখ্যা হবে। এটুকু হলেই বুঝতাম, ব্রহ্মগুপ্ত শূন্যকে ঠিকমতো বুঝেছেন।
        শুধু যোগ আর বিয়োগের উপর সংখ্যা শূন্য ধরলে, ব্রহ্মগুপ্তের পূর্বে আরো অনেককে কৃতিত্ব দিতে হবে, যেমন চীনের হান সাম্রাজ্যের counting rod নিয়ে কাজ করা মানুষদের কিংবা ব্যাবিলনীয়দের। আর এ কারণেই “পরিপূর্ণ সংখ্যা শূন্যের” অকাট্য প্রমাণটি ইতিহাসের সময়রেখায় আরো পরে বিবেচনা করছি। তবে ব্রহ্মগুপ্তের কাজ শূন্যের পরিপূর্ণ বিকাশে সাহায্য করেছে এ অনস্বীকার্য।
        আপনার বইটি পড়ছি, বেশ চমৎকার, বিশেষ করে রেফারেন্স। ভালো থাকবেন।

  3. “লীলাবতী—কাব্যসুষমায় গণিত উপাখ্যান” এই লেখাটিতে গণিত এবং কাব্যের সহ অবস্হানের এক দারুন দৃষ্টান্ত। কাব্যিক গণিতের ধারার সাথে নতুন করে পরিচয় করিয়ে দেয়ার জন্য ধন্যবাদ।তবে আচার্য ভাস্করের আরো কিছু অনুবাদকৃত সমস্যা পেলে ভাল লাগতো।এধরনের অনন্য আরো লেখা আমরা প্রত্যাশা করি।আমি যতো দূর জানি ঘেঙ্গিস খানের নামটি সম্ভবত চেঙ্গিস খান।আমার ভুল ও জানা থাকতে পারে।ঠিক বিষয়টি জানাবেন বলে আশা করি।ধন্যবাদ
    সমস্যা দুইঃ ১৫। ভুল হলে জানতে আগ্রহী।

    • শুভেচ্ছা। আপনার মূল্যায়ন গভীর শ্রদ্ধায় গৃহীত হলো।
      ভাস্করাচার্যের বইটির ইংরেজি অনুবাদটি আমার কাছে আছে। সেটি গদ্যাকারে, তবে সময় পেলে চেষ্টা করব বাংলায় কবিতাকারে অনুবাদ করে দিতে।

      চেঙ্গিসের নামের ব্যাপারে আপনার পর্যবেক্ষণ ঠিকই আছে। আসলে চেঙ্গিসের নামটি বিভিন্ন ভাষায় কিঞ্চিত ভিন্ন ভিন্ন উচ্চারণে উচ্চারিত হয়, যেমন চেঙ্গিস, চিঙ্গিস, জেঙ্গিস, ঘেঙ্গিস..(উইকি’তে দেখতে পারেন)। আমি নিজে সাধারণত ঘেঙ্গিস উচ্চারণ করি, কারণ এতে তার প্রতাপ ও ভয়ঙ্করতা, আমার মতে, বেশি ফুটে উঠে। এ ছাড়া অন্য কোনো কারণ নেই। :)

Leave a Reply

Scroll To Top