Home / থিওরেম পরিচিতি / পূর্ণ সংখ্যায় সমাধান করোঃ for beginners only!!!

পূর্ণ সংখ্যায় সমাধান করোঃ for beginners only!!!

জানি না এই লেখাটা আসলে নৈতিকভাবে সমর্থনযোগ্য কিনা, নৈতিক সমর্থনযোগ্যতার প্রশ্নটি বাঞ্ছিত কিনা সেটিও প্রশ্নসাপেক্ষ!! তবে ধর্তব্য আর কর্তব্যের বাইরে গণতন্ত্র নামে একটি জিনিস আছে, তাই আমি মত প্রকাশের স্বাধীনতার পূর্ণ সুযোগ নিতেই পারি।

এই চিরকুটটি তাদের জন্য যারা নতুন নতুন সংখ্যাতত্ত্ব পড়ছে এবং অলিম্পিয়াডের জন্য প্রস্তুতি নিচ্ছে। যারা প্রাক্তন ক্যাম্পার তাদের অনেকেই সমস্যা সমাধানের প্রয়োজনীয় তত্ত্ব ও তথ্যের ব্যাপারে আমার চেয়ে যোজন যোজন গুণ এগিয়ে- এই লেখা তাদের কিছু শেখানোর জন্য নয়। আমি বরং আশা করব গণিতের উচ্চমার্গীয় বিষয়ে আমাদের মত শৌখিন গণিতামোদীদের সচেতন করতে প্রাক্তন ক্যাম্পার এবং IMOপ্রতিযোগীরা এগিয়ে আসবে।

সংখ্যাতত্ত্ব থেকে প্রায়ই এমন কিছু সমস্যা থাকে যেগুলোর জন্য ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যায় সমাধান করতে বলা হয়। আমি এখানে এমন কিছু ধারণার কথা উল্লেখ করব যেগুলো ব্যবহার করে এসব সমস্যা সমাধান করা অনেক বেশি সহজ হয়ে ওঠে।

পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য নামের একটি থিওরেম আছে- যেকোন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যাকে ঠিক একভাবে কেবলমাত্র মৌলিক সংখ্যার গুণফল আকারে লেখা যায়। যেমনঃ
12 = 2.2.3
27 = 3.3.3
210 = 2.3.5.7
ভুলেও খুব trivial বলে উড়িয়ে দিও না যেন- এই তত্ত্বের কল্যাণে কত সমস্যা যে সমাধানের মুখ দেখেছে তা বলে শেষ করতে পারব না। কোন সমস্যা দেখে বিভাজ্যতার কথা মাথায় আসলে এই মহাশয়ের দিকে একটু মুখ তুলে তাকানোর ধারণাটা খুব খারাপ কিছু নয়। খুব চট করে একটি সমস্যা সমাধান করে নাও, তাহলেই টের পাবেঃ

সকল ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা k এর জন্য b^(k+1), a^k দ্বারা বিভাজ্য। দেখাও যে b সংখ্যাটিও a দ্বারা বিভাজ্য।
আমার নিজের এক পছন্দের সমস্যা হল x^y = y^x এর সমাধান নির্ণয়। এটি করতেও আমাকে এই থিওরেমের ব্যবহার করতে হয়েছে।
একটি জনপ্রিয় সমস্যা হলঃ 100! এর শেষে কয়টি শূণ্য আছে। এই সমস্যার সমাধানেও আমরা এই একই থিওরেমের সহায়তা নেই।

না! না! শুধু এই থিওরেম জেনে ইহজগতের সব সমস্যা থেকে মুক্তি পাওয়া যাবে না। আরো অনেক কিছু জানার আছে বৎস!!!

এক গালভরা নাম হতে পারে- তবে যারপরনাই সহজ এক ধারণা হল Quadratic Residue – যদি কোন পূর্ণবর্গ x^2 কে n দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে q তাহলে আমরা q কে n এর QR বলে থাকি। যেসব ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণে পূর্ণ সংখ্যার বর্গ থাকে সেখানে তো এর জুড়ি মেলা ভার। এর কারণ কোন সংখ্যার আসলে সুনির্দিষ্ট কিছু QR থাকে। যেমন 4 এর QR হল শুধু 0 আর 1; তেমনি 3 এর QR শুধু 0 আর 1 হয়। আবার এর মানে এটি হবে 0,1,2 নাহলে 4- এর বাইরে কিছু নয়। QR ব্যবহার করে বিভিন্ন সমস্যার সমাধান দেওয়া যায় সহজেই।

x^2 + y^2 = 2011- এই সমস্যার যে পূর্ণ সংখ্যায় কোন সমাধান নেই তা খুব সহজেই mod 4 ব্যবহার করে প্রমাণ করা যায়।

আরেকটি সমস্যার কথা বলিঃ অনেকেই নিশ্চয়ই Primitive Pythagorean Triple (PPT) এর নাম শুনেছ। PPT হল তিনটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার একটি ট্রিপ্লেট (x,y,z) যেখানে x হচ্ছে জোড়, x এবং y সহমৌলিক এবং x^2 + y^2 = z^2 ; modular arithmetic ব্যবহার করে দেখানো যায় যে এমন দুটি সহমৌলিক পূর্ণসংখ্যা p এবং q আছে যেন x = 2pq, y = p^2 – q^2, z = p^2 + q^2 হয়।

এই সহমৌলিকতা জিনিসটিও কিন্তু এক কাঠি সরেস। সহমৌলিকতা ব্যবহার করে অনেক সমস্যার সমাধান করে বেশ সহজ হয়ে পড়ে। এরকম একটি সমস্যা ছিল বিগত জাতীয় অলিম্পিয়াডে সেকেন্ডারির ৬ নম্বর সমস্যাটি। একই সাথে আরো একটি জিনিস জানিয়ে রাখি- যেকোন পূর্ণ সংখ্যাকে কিন্তু আমরা (2^k)*(2n + 1) আকারে লিখতে পারি। এই তথ্যটুকুও অনেক জায়গাতেই কাজে দেয়। শুধু এই দুটি ধারণা ব্যবহার করেই দেখানো যায়ঃ যদি কোন মৌলিক সংখ্যার বর্গকে a^2 + 2b^2 আকারে লিখা যায় তাহলে ঐ সংখ্যাটিকেও x^2 + 2y^2 আকারে লিখা যায়।

যেসব সমস্যায় দ্বিঘাত চলকযুক্ত সমীকরণ থাকে সেগুলোর সমাধান অনেক বেশি সহজ হয়ে ওঠে যদি আমরা সেখানে m^2 – n^2 জাতীয় কোন রাশি নিয়ে আসতে পারি। হেতুটি বড়ই দৃশ্যমানঃ m^2 – n^2 = (m + n)(m – n); সমীকরণের অন্যপক্ষে পর্যাপ্ত তথ্য থাকলে m এবং n এর মান বের করার জন্য দুটি সমীকরণ এখান থেকে বের করে ফেলা যায়। অনেক সময় কিন্তু দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়কের (discriminant) ব্যবহার করতে পারাটাও অনেক বেশি সুবিধা করে দেয়। এমন একটি সমস্যা নিয়ে নাড়াচাড়া করে দেখ-
দেখাও যে b^2 + b + 1 = a^2 সমীকরণটির ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যায় কোন সমাধান নেই।

সমস্যা সমাধানে সংখ্যার ভিত্তি পরিবর্তন জিনিসটিও বেশ কাজের। যেমন- কেবল 3 এর ঘাত কিংবা 3 এর ভিন্ন ভিন্ন ঘাতের সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা যায় এমন সংখ্যাগুলোর ধারা (1, 3, 4, 9…)- এর 100 তম পদটি বের কর। গত জাতীয় অলিম্পিয়াডে হায়ার সেকেন্ডারি ৯ নম্বর সমস্যাটি কিন্তু সংখ্যার ভিত্তি পরিবর্তনের ধারণা ব্যবহার করার খুব ভালো একটি উদাহরণ। সমস্যা সমাধানে কিন্তু ফ্লোর ফাংশন কিংবা সিলিং ফাংশন ব্যবহার করাটাও বেশ জরুরি হতে পারে।

সবকিছুর মাঝে গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি, recurrence relation আর contradiction এর কথা ভুলে যেও না যেন!!!

আরে!! হচ্ছে কী এসব!!! আমার আর কোন কাজ নেই নাকি!! অনেক কিছু বলে দিয়েছি- এবার খাতা-কলম নিয়ে বসার পালা তোমার। আমি ফুটি- টা টা!!!

পুনশ্চ- এই নোটে উল্লেখ করা সমস্যাগুলোর সমাধান ইচ্ছে করেই দেইনি- যারা চর্চা করবে, তাদের জন্য সমস্যাগুলো উন্মুক্ত রইল।

লিখেছেন অতিথি লেখক  অসংজ্ঞায়িত আমি

About মামুন হক

5 comments

  1. কিছু উদাহরণ দিয়ে দেন ভাইয়া । তাহলে অনেক কিছুই আরো ভালো বোঝা হবে ।

  2. অনেক মজার। এই রকম আরো পোস্ট চাই

  3. ভাইয়া একটা বিশাল সংখায় শেষে কয়টা ০ আছে টা কিভাবে বের কোরবো?
    ১০০!র সররবডানে ২৪টা ০ আছে

    • ইমতিয়াজ ভাই, n! এর শেষে কতোগুলো শূন্য আছে সেটা বের করার একটা ফর্মুলা হল,
      (\frac {n}{5})+(\frac {n}{5 ^{2}})+(\frac {n}{5 ^{3}})+..........
      যেখানে, x মানে হল x এর চেয়ে ছোট সবচেয়ে বড় পূর্ণ সংখ্যা।
      এটা আসলে একটা উপপাদ্য থেকে পাওয়া যায়। মুল উপপাদ্যটায় 5 জায়গায় সাধারন ভাবে ক্ষ ব্যবহার করা হয়েছে।
      উৎস ঃ The Theory of Numbers

      অভিক দা র “ম্যাথোস্কোপ” বইয়ে আরও ভালো একটা ফর্মুলা আছে কিন্তু এখন মনে পরছে না। পড়লে জানিয়ে দেব।

Leave a Reply

Scroll To Top