Home / প্রতিবেদন / অবাক গণিত / গোল্ডেন রেশিও | ফিবোনাচি ধারার রহস্য পর্ব-৩

গোল্ডেন রেশিও | ফিবোনাচি ধারার রহস্য পর্ব-৩

আরেকবার আমন্ত্রণ গণিতের রহস্যময় জগতে।আজ আমি ফিবোনাচি ধারা এবং গোল্ডেন রেশিও বা সোনালি অনুপাত সম্পর্কে কিছু লিখবো যদিও এই বিষয় টা আরও পরে লেখার ইচ্ছা ছিল। যারা আগের পর্ব দেখেন নি তারা এখানে ক্লিক করে দেখে নিতে পারেন।

আমরা ফিবোনাচি ধারার রহস্য পর্ব-১ এ কত গুলো ফিবোনাচি সংখ্যা লিখেছিলাম, এখানে আবার কিছু লিখি-

F1 1    F2 1   F3 2    F4 3    F5 5   F6 8    F7 13    F8 21     F9 34

আমরা এখন যদি সংখ্যা গুলো এভাবে ভাগ করি-

F2 /F1 = 1/1=1

F3 /F2 = 2/1=2

F4 /F3= 3/2=1.5

F5 /F4 = 5/3=1.667

F6 /F5= 8/5=1.6

F7 /F6= 13/8=1.625

F8/F7 =21/13=1.6153846

F9 /F8=34/21=1.6190476

অনুপাত গুলো খেয়াল করলে দেখবেন ভাগফলগুলো ক্রমশই একটি নির্দিষ্ট মানের দিকে পৌছাচ্ছে।এই নির্দিষ্ট মানটা হচ্ছে 1.6180339887……… একটা অমূলদ সংখ্যা যাকে ফাই (ø) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। নিচের গ্রাফ টা দেখলে আরও ভালোভাবে বোঝা যাবে-

এই অনুপাতকেই বলা হয় গোল্ডেন রেশিও বা সোনালি অনুপাত।আপনাদের মনে নিশ্চয়ই একটা প্রশ্ন খচ খচ করছে- এই সাধারণ জিনিসটাকে গোল্ডেন রেশিও বা সোনালি অনুপাত বলতে হবে কেন? আসুন দেখি  এই সাধারণ জিনিসটা আসলে কতটা অসাধারন।

ফিবোনাচি ধারার রহস্য পর্ব-২ এ ফিবোনাচি স্পাইরাল সম্পর্কে লিখেছিলাম।আমরা ফিবোনাচি স্পাইরাল আঁকার জন্য প্রথমেই একটা আয়তক্ষেত্র ব্যবহার করেছিলাম যার বাহুগুলো ছিল যেকোনো পাশাপাশি দুটি ফিবোনাচি সংখ্যা।এ ধরনের আয়তক্ষেত্রকে বলা হয় সোনালি আয়তক্ষেত্র কারণ এধরনের আয়তক্ষেত্র দেখতে সবচেয়ে  দৃষ্টিনন্দন এবং গাণিতিক দিক থেকে নিখূঁত।অনেক বিখ্যাত চিত্রকর্ম,স্থাপনা এবং প্রাকৃতিক ব্যাপার এর সাথে এটি মিলে যায়। এ বিষয়ে এই পর্বে  কিছুটা এবং আগামী পর্বে বিস্তারিত আলোচনা করবো।এখন প্রশ্ন হল- সোনালি আয়তক্ষেত্রের বাহুগুলোর অনুপাত কতো? আমি জানি আপনারা উত্তরটা ধরে ফেলেছেন। উত্তর হল- 1.6180339887……… = ø বা সোনালি অনুপাত। আসলে আগেই আমরা দেখিয়েছি যে পাশাপাশি দুটি ফিবোনাচি পদ ভাগ করলে সেটাই সোনালি অনুপাতের দিকে যায়।

φ আর কোথায় পাওয়া যায়? যারা অল্প সল্প দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করেছেন তাদের জন্য বলি, নিচের সমীকরণটির সমাধান কত?

X^2 –X- 1=0

আমরা জানি দ্বিঘাত সমীকরণে ২টি সমাধান থাকে। উপরের সমীকরণের সমাধান হবে-

এবং আরেকটি হল

প্রথম সমাধানটিই হচ্ছে সোনালি অনুপাত।একটা মজার ব্যাপার খেয়াল করেছেন নিশ্চয়ই, ২য় সমধানটা ১ম সমাধান থেকে ১ কম।তার মানে-

ø-1=Φ

আরোও মজার ব্যাপার- ø কে 1 দিয়ে ভাগ করলে আবার  Φ চলে আসে-

1/ø=Φ

এবার আর কিছু ব্যাপার খেয়াল করি। φ এর সাথে 1 যোগ করলে কি হবে?পাওয়া যাবে ø এর বর্গ বা ø^2 অর্থাৎ-

ø^2=ø+1

φ এর পাওয়ার এক এক করে বাড়ালে মজার একটা জিনিস দেখা যায়, আসুন দেখি-

ø^2=ø+1

ø^3=2ø+1

ø^4=3ø+2

ø^5=5ø+3

ø^6=8ø+5

ø^7=13ø+8

. . .

ø^n=F(n)ø+F(n-1)

খেয়াল করুন, ø এর যে কোনো ঘাতের মানই পাশাপাশি ২টি ফিবোনাচি পদ দিয়ে প্রকাশ করা যায়।

আর কোথায় পাওয়া যাবে ø? দেখি- বর্গমূলের ভেতরে বর্গমূল ঢুকিয়ে নিচের মত কঠিন কিছু তৈরি করলে কেমন হয়?

এই সমীকরণের উভয়পাশে বর্গকরলে কি হবে?

তাহলে 1 এর পাশে দেখা যাচ্ছে আবার বর্গমূলের ভেতরে বর্গমূল এসে যাছে। এটার মান ত আমরা প্রথমেই X ধরেছিলাম। তাহলে লিখতে পারি-

সেই পরিচিত বিখ্যাত দ্বিঘাত সমীকরণ যার মান আমরা জানি —- কত জানি?? ভুলে গেলাম ত।

এবার দেখি আরও কঠিক কিছু বানানো যায় কিনা। ভগ্নাংশের নিচে ভগ্নাংশ ঢুকিয়ে দেই নিচের মত করে-

আবার আগের মতই প্রথম 1 এর নিচে আবার একই ধারা এসে পরে যার মান X। তার মানে-

আরে কি সমস্যা…সেই একই সমীকরণ আবার! কি বিশ্রী ব্যাপার, একে দাওয়াত দেই না তারপরও চলে আসে। আর এর সমাধানটাও কেমন, মাথা আছে কিন্তু পা নেই, শখ করে আবার নাম দেয়া হয়েছে আবার গোল্ডেন রেশিও।আপনারাই বলেন, কয় ভরি স্বর্ণ আছে এর মাঝে? থাকলে আসলে ভালই হত। যে ভাবে বার বার আসা শুরু করেছে, একে ছিনতাই করেই কোটিপতি হয়ে যেতাম।


About রিমন

Scroll To Top