অঙ্কের সংখ্যা কত ?

বলুন তো  2^{100} এর অঙ্ক সংখ্যা কত ? এই সমস্যাটা আমি মামুন ভাই কে বেশ কিছুদিন আগে জানিয়েছিলাম। তবে মনে হচ্ছে আমি নিজেই  এর একটা সমাধান বের করতে পেরেছি। আগেই বলে রাখছি  এটা সম্পুরন আমার নিজের রচনা এবং গনিত পাঠশালার লেখকদের তুলনায় আমি বয়সে বেশ ছোট এবং তাই আমার জ্ঞানের পরিসীমা যথেষ্ট ক্ষুদ্র। তাই এই সমাধানে ভুলত্রুটি  থাকতেই পারে তাই সকলকে বিনীত অনুরোধ যেকোনো ভুলত্রুটি দেখতে পেলে অবশ্যই আমাকে জানবেন।

সমাধানঃ আগেই বলে রাখি সমাধানটা আমি করেছি একটা ফাঁকিবাজি করে। এটার হয়তো আরও যুক্তিযুক্ত সমাধান আছে। কিন্তু আমারটাও মনে হয় চলবে।

আমদের সংখ্যা পদ্ধতি আসলে ১০ ভিত্তিক। আর তাই প্রত্যেকটা সংখ্যাকে এভাবে লেখা যায়।

1256 = 10^3\times1+10^2\times2+10^1\times5+10^0\times6  145 = 10^2\times 1+10^1\times 4+10^0\times 5  23 = 10^1\times 2+10^0\times 3

তাহলে খেয়াল করুন যে কোনো সংখ্যায় ১০ এর সর্বোচ্চ পাওয়ার যত তার অঙ্ক সংখ্যা ঠিক তার চেয়ে এক বেশি। অর্থাৎ কোনো একটা সংখ্যায় ১০ এর সর্বোচ্চ পাওয়ার k  হলে সংখ্যাটিতে অঙ্ক থাকবে k+1 সংখ্যক। এখন আমাদের যুগান্তকারী ফাঁকিবাজি শুরু।

  2^1 = 10^0\times2  2^2 = 10^0\times4  2^3 =  10^0\times8     2^4 =16 = 10^1\times1+10^0\times6  2^5 =32=  10^1\times3+10^0\times2  2^6 =64= 10^1\times6+10^0\times4     2^7 =128= 10^2\times1+10^1\times2+10^0\times8  2^8 = 256=10^2\times2+10^1\times5+10^0\times6  2^9 = 512=10^2\times5+10^1\times1+10^0\times2

খেয়াল করুন 2 এর পাওয়ার যথাক্রমে 1,2,3 এর জন্য 10 এর সর্বোচ্চ পাওয়ার 1 .

2 এর পাওয়ার যথাক্রমে 4,5,6 এর জন্য 10 এর সর্বোচ্চ পাওয়ার 2 .

2 এর পাওয়ার যথাক্রমে 7,8,9 এর জন্য 10 এর সর্বোচ্চ পাওয়ার 3.

এখন (1,2,3) কে নিয়ে একটা গ্রুপ করলাম যেখানে 10 এর সর্বোচ্চ পাওয়ার 1  , অনুরুপভাবে  (4,5,6) কে নিয়ে 10 এর সর্বোচ্চ পাওয়ার 2, অনুরুপভাবে এটাও (7,8,9)। তাহলে,

(1,2,3)—— এর জন্য k+1 এর মান 1

(4,5,6) —— এর জন্য k+1 এর মান 2

(7,8,9) —— এর জন্য k+1 এর মান 3

.

.

.

.

(3x-2, 3x-1, 3x)—-এর জন্য k+1 এর মান  x

যেখানে  x\in\mathbb{N}

তাহলে এবার 100 এর জন্য হিসাব করলেই হয়।

3x-2 = 100 ………………..(1)

3x-1 = 100 ………………..(2)

3x = 100 ………………….(3)

যেহেতু   x\in\mathbb{N}  , তাই একমাত্র সমীকরণ (1) এর সমাধানই গ্রহণযোগ্য।

অতএব, x = 34

হুররে আমরা পেয়েগেছি, তাহলে 2^{100} এর অঙ্ক সংখ্যা ৩৪ টি ।

কীভবে হলোঃ আমি যদিও ফাঁকিবাজ ক্লাসে কখনো পড়া পারিনা তবুও আপনাদের ফাঁকিবাজি শিখাবো না। চলুন দেখি ব্যাপারটা কি হল।

আমরা যদি ০ থেকে শুরু করি তাহলে ০ এরপর ১০,  ১০ দ্বারা বিভাজ্য। তাহলে এর মাঝের ৯ টি সংখ্যার জন্য ১০ এর সর্বচ্চ ঘাত ০। আবার এই ৯টি সংখ্যার ৪টি জোড়। আবার বিজোড় সংখ্যা গুলো সব একে অপরের সাথে সহ-মৌলিক। যেহেতু প্রতি তিনটি সংখ্যার মধ্যে একটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য তাই জোড় সংখ্যাগুলোর একটি অবশ্যই ৩ দিয়ে বিভাজ্য। তাহলে বাকি ৩ টি জোড় সংখ্যা  অবশ্যই ২ এর বিশুদ্ধ ঘাত হবে ( মানে সেগুলোকে 2^{k} আকারে প্রকাশ করা যাবে)। তাই প্রতি ৯ টি সংখ্যার ব্যাবধানে ৩ টি করে ২ এর বিশুদ্ধ ঘাত থাকবে। তারপরের ধাপ তো আরও সোজা ৩ টি করে ২ এর ঘাত নিয়ে গ্রুপ করে আগালেই  সমাধান চলে আসবে।

আর 3x-2 , 3x-1, 3x সংখ্যা গুলোর তাৎপর্য কিছুই না  1,2,3… এরা যেমন ক্রমিক সংখ্যা 3x-2 , 3x-1, 3x এরাও তেমনি ক্রমিক সংখ্যা। প্রথমটার সাথে ১ যোগ করলে দ্বিতীয়টা পাওয়া যায়। দ্বিতীয়টার সাথে ১ যোগ করলে তৃতীয়টা পাওয়া যায়। ( খুব সহজ!!)

 

আমি পরীক্ষা করে দেখিনি কিন্তু আমার মনে হয় সব সংখ্যার জন্যই এভাবে পর্যবেক্ষণ করে এ ধরনের সমস্যা সমাধান করা সম্ভব। পরীক্ষা করার দায়িত্ব আপনাদের ওপর রইল।

এতক্ষণ ধরে আমার লেখাটা পড়ার জন্য ধন্যবাদ । যে কোনো প্রকার ভুল ত্রুটি ঠিক থাকলে প্লিজ মতামত দিন।

 

তথ্য সুত্রঃ 1. bn.wikipedia.org

2.Theory Of Numbers  ( এখানে সহ-মৌলিকতা সম্পর্কে লেখা পাবেন)

Writer : Andrew Adler

John E. Coury

Thank You All.

About S.M.Joty

আমি একজন সাধারন মানুষ । আমি আমার আইডিয়া গুলো সবার সাথে শেয়ার করতে চাই। আমার প্রিয় বিষয় math, physics ,Astrophysics ,chess etc.

3 comments

  1. আগেই বলেছি আমার লেখায় ভুল থাকতেই পারে । আমার লেখায় আমি নিজেই একটা ভুল খুজে পেলাম।
    “কিভাবে হল” অংশে আমি বলেছি ০ থেকে ১০ পর্যন্ত ৩ করে টি করে সংখ্যা ২ এর বিশুদ্ধ পাওয়ার। কিন্তু আসলে একটু ভুল হয়ে গেছে। বলা উচিত ছিল 0 থেকে  10^k পর্যন্ত  3k সংখ্যক ২ এর বিশুদ্ধ পাওয়ার থাকে । (আমি একটা গাধা ছাড়া আর কিছু না। মাথায় কিসছু নাই।)
    সংখ্যা রেখা দেখলে ব্যাপারটা বঝা যায়।
    অনিচ্ছাকৃত ভুলের জন্য soorrrryyyyyyyy……………………….

Leave a Reply

Scroll To Top